?

Log in

No account? Create an account

Предыдущая запись | Следующая запись

Кривизна и горизонт

Задача достаточно простая: оценить, насколько в самом деле может быть заметно искривление поверхности Земли, и на каком расстоянии должны находиться объекты, чтобы упомянутая кривизна начинала скрывать их.


Расчёты совершенно тривиальные для тех, кто не забыл планиметрию и основы тригонометрии, однако выводы достаточно неожиданные. В качестве аналогичного примера с неожиданными (для обывателя) выводами могу напомнить известную задачу: если мы обтянули "по экватору" вишню (предположим, с диаметром в 1 см) и Землю, а потом добавили к каждой такой нити ровно один метр длины, то насколько отодвинется нить от поверхности каждого из тел, если предположить, что по всей её длине дистанция до поверхности тела одинакова?


Совершенно очевидный ответ (отодвинется на одно и то же расстояние, примерно 15.9 см, и от поверхности вишни, и от поверхности Земли) кажется парадоксальным, хотя проверятся просто формулой длины окружности.


Итак расчёты.


Вначале картинка.


Чертёж


И обозначения:
A - глаза наблюдателя (или, соответственно, объектив)
B - место на поверхности Земли, где стоит наблюдатель
C - центр Земли
H - точка, в которой линия зрения наблюдателя соприкасается с поверхностью Земли
φ - угол между [CA], [CH]


Если предположить, что мы стоим на идеальном шаре, то [AH] является касательной к дуге, то есть угол между [AH] и [HC] - прямой. Следовательно,


[HC] / [AC] = cos(φ)


где
[HC] = R, радиус Земли (далее в расчётах берём среднюю величину R = 6371 км)
[AC] = [AB] + [BC], где [AB] = h - высота от точки, где стоит наблюдатель до уровня его глаз, а [BC] = [HC] = R


И формула для вычисления длины дуги [BC] = l:


l = R * arccos(R / (R+h))


А теперь численные (округлённые до метров) результаты для нескольких значений h:
Для h = 160 см получаем l = 4585 м.
Для h = 75 см получаем l = 3091 м.
Для h = 1 см получаем l = 357 м.


160 см - это оценка для самого себя. Таким образом, для т.н. среднего человека кривизна Земли никаким образом не помешает увидеть объект на расстоянии до 4 км (точную дистанцию считаем по формуле выше).


75 сантиметров - это, опять же условно, высота, с которой смотрит сидящий человек. Так что, если хотите наглядно понаблюдать за тем, как кривизна Земли закрывает обзор, найдите водоём, сядьте там на плоту в абсолютно безветренную погоду (чтобы волны не мешали) и посмотрите, как видны объекты на дистанции от 3 км и далее. Разумеется, разрешающая способность камеры смартфона и большинства биноклей тут уже не помогут.


Подписаться на Telegram канал temmokan

Если не сказано иначе, все записи в этом журнале подпадают под следующую лицензию:
Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 3.0 Unported License
О распространении моих произведений в электронном виде

Comments

( 11 мнений — Высказать мнение )
bodeh
6 июл, 2018 03:51 (UTC)

И сразу в голову приходит обратная задача: доказать и вычислить кривизну земли через изменение видимого горизонта на разной высоте.

temmokan
6 июл, 2018 13:30 (UTC)
С этим будет сложно:

R/(R+h) = cos(l/R)

где l и h известны, а R - нет.
temmokan
6 июл, 2018 15:28 (UTC)
Впрочем, если упростить себе задачу и расстоянием до горизонта l считать не длину дуги BH, а отрезка AH, то всё крайне просто:

R**2 + l**2 = (R + h)**2
откуда получаем
R = (l**2 - h**2)/(2*h)
den3streifen
6 июл, 2018 04:16 (UTC)
Прошу выложить задачу про вишню и землю и ее решение. Спасибо.
morthan2006
6 июл, 2018 06:20 (UTC)
Дана окружность длиной L1 и радиусом R1.
Увеличим длину окружности на D: L2 = L1 + D.
Требуется найти изменение радиуса: R2 - R1.

Решение. Выразим радиусы через длину окружности: R = L / 2*pi
Тогда (R2 - R1) = (L1 + D) / 2*pi - L1 / 2*pi
Следовательно: (R2 - R1) = D / 2*pi

То есть, изменение радиуса не зависит от радиуса, а только от изменения длины окружности.
den3streifen
6 июл, 2018 06:29 (UTC)
Всё равно не укладывается в голове земля и вишня с удалением 16 см.
temmokan
6 июл, 2018 13:23 (UTC)
В математике такого добра хватает. Чем она меня в своё время и очаровала. Очень советую прочесть Еланьского ("По следам Пифагора") и того же Гарднера (всё, что найдётся).

morthan2006
6 июл, 2018 06:06 (UTC)
Теперь то же самое, только под музыку: Knorkator - Wie weit ist es bis zum Horizont

Знание немецкого не обязательно. :-)
temmokan
6 июл, 2018 13:28 (UTC)
Да, это мощно! Спасибо, порадовался...
sergey_ilyin
6 июл, 2018 07:32 (UTC)
Как правильно писал Перельман, "вывозите летом детей на море". Там в водоеме диаметром много больше 4 км плавают объекты, заметные даже без смартфона. Типа небольшого контейнеровоза в 10000 тонн :)
temmokan
6 июл, 2018 13:21 (UTC)
Ну, этим летом как раз были на море - и круизные лайнеры видели, и некривые контейнеровозы. В том числе.
( 11 мнений — Высказать мнение )

Профиль

2012, Осень
temmokan
Константин Бояндин
Проза жизни

Метки

За последний месяц

Ноябрь 2018
Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
252627282930 

Статистика


Разработано LiveJournal.com
Designed by Lilia Ahner